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La théorie du “saut” de Naẓẓām et le Calcul infinitésimal

Naẓẓām’s “leap” Theory and Infinitesimal Calculus

نظرية الطفرة عند النظام وحساب تفاضل وتكامل المتناهيات في الصغر

in Philosophical Studies Journal
Autor:in:
Abdelouahab Rgoud Assistant Professor, Co-Director of the ACPPS Research Center UM6P Benguerir Morocco

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https://orcid.org/0009-0001-2809-5385
Online-Publikationsdatum:
26 Dec 2025

Résumé

Cet article examine les fondements classiques du calcul infinitésimal à travers l’analyse de la théorie du “saut” (ṭafra) développée par le théologien mutazilite Naẓẓām (IXe siècle) et ses implications épistémologiques. En confrontant les positions théologiques d’al-Ashʿarī et de Fakhr al-Dīn al-Rāzī aux développements mathématiques de Thābit Ibn Qurra et Ibn al-Haytham, nous mettons en évidence les tensions conceptuelles entre continuité et discrétion du mouvement qui préfigurent les débats modernes sur les infinitésimaux. La méthodologie repose sur l’analyse comparative de textes théologiques (kalām) et mathématiques arabes médiévaux, confrontés aux travaux de Newton et Leibniz. Nous démontrons notamment comment la critique d’al-Ashʿarī contre la composition des vitesses, fondée sur une lecture littérale des textes religieux, aurait entravé le développement d’une science universelle fondée sur l’induction. À l’inverse, Ibn Rushd, par sa distinction entre contiguïté et succession, ouvre la voie au principe de causalité. L’étude révèle qu’Ibn al-Haytham, à travers son raisonnement par analyse-synthèse, et Thābit Ibn Qurra, par ses démonstrations sur les aires paraboliques, ont établi les fondements du calcul intégral plusieurs siècles avant leurs homologues européens. Les tensions conceptuelles autour de l’infiniment petit dans la pensée classique islamique résonnent avec les débats contemporains en physique quantique, notamment concernant la longueur et le temps de Planck, questionnant ainsi la nature continue ou discrète de l’espace-temps.

Abstract

This article examines the classical foundations of infinitesimal calculus through an analysis of the “leap” theory (ṭafra) developed by the Muʿtazilite theologian Naẓẓām (9th century) and its epistemological implications. By confronting the theological positions of al-Ashʿarī and Fakhr al-Dīn al-Rāzī with the mathematical developments of Thābit Ibn Qurra and Ibn al-Haytham, we highlight the conceptual tensions between continuity and discreteness of motion that prefigure modern debates on infinitesimals. The methodology relies on comparative analysis of medieval Arabic theological (kalām) and mathematical texts, examined in relation to the works of Newton and Leibniz. We demonstrate how al-Ashʿarī’s critique of the composition of velocities, grounded in a literal reading of religious texts, would have hindered the development of a universal science based on induction. Conversely, Ibn Rushd, through his distinction between contiguity and succession, paved the way for the principle of causality. The study reveals that Ibn al-Haytham, through his analysis-synthesis reasoning, and Thābit Ibn Qurra, through his demonstrations on parabolic areas, established the foundations of integral calculus several centuries before their European counterparts. The conceptual tensions surrounding the infinitely small in classical Islamic thought resonate with contemporary debates in quantum physics, particularly concerning Planck length and Planck time, thereby questioning the continuous or discrete nature of spacetime.

ملخص

تتناول هذه المقالة الأسس الكلاسيكية لحساب المتناهيات في الصغر من خلال تحليل نظرية الطفرة التي وضعها عالم الكلام المعتزلي في القرن التاسع الميلادي، نظم، وتداعياتها المعرفية. بمقارنة المواقف اللاهوتية للأشعري وفخر الدين الرازي مع التطورات الرياضية لثابت بن قرة وابن الهيثم، نسلط الضوء على التوترات المفاهيمية بين استمرارية الحركة وانفصالها، والتي تُنذر بالنقاشات الحديثة حول المتناهيات في الصغر. تعتمد المنهجية على تحليل مقارن للنصوص اللاهوتية والرياضية العربية في العصور الوسطى، جنبًا إلى جنب مع أعمال نيوتن ولايبنتز. نُبيّن، على وجه الخصوص، كيف أعاق نقد الأشعري لتركيب السرعات، القائم على قراءة حرفية للنصوص الدينية، تطور علم كوني قائم على الاستقراء. في المقابل، مهد ابن رشد، من خلال تمييزه بين التجاور والتتابع، الطريق لمبدأ السببية. تكشف الدراسة أن ابن الهيثم، من خلال استدلاله بالتحليل والتركيب، وثابت بن قرة، من خلال براهينه على المساحات المكافئة، وضعا أسس حساب التفاضل والتكامل قبل نظرائهما الأوروبيين بعدة قرون. وتتردد أصداء التوترات المفاهيمية المحيطة بالصغر المتناهي في الفكر الإسلامي الكلاسيكي مع النقاشات المعاصرة في فيزياء الكم، وخاصةً فيما يتعلق بطول بلانك وزمنه، مما يثير التساؤلات حول الطبيعة المتصلة أو المنفصلة للزمكان.
Schlüsselwörter:Calcul infinitésimal; Naẓẓām; kalām; mathématiques arabes; Ibn al-Haytham; relativité galiléenne; analyse-synthèse; Infinitesimal calculus; Naẓẓām; kalām; Arabic mathematics; Ibn al-Haytham; Galilean relativity; analysis-synthesis; حساب التفاضل والتكامل متناهي الصغر; النظام; علم الكلام; الرياضيات العربية; ابن الهيثم; النسبية الجليلية; التحليل والتركيب

Naẓẓām (760-835) fut l’un des rares muʿtazilites à élaborer une philosophie naturelle qui ne soit pas basée sur l’atomisme classique du Kalām. Au-delà des tensions métaphysiques et théologiques que cela implique, concernant notamment le fait que l’occasionnalisme nécessite l’atomisme, Naẓẓām a aussi eu à résoudre les paradoxes qu’avaient déjà soulevés certains penseurs grecs, à l’instar de Zénon, à qui nous devons les paradoxes éponymes. La théorie dite du “saut” (ṭafra) de Naẓẓām est fort intéressante, et constitue un point de bascule épistémologique important de la doctrine muʿtazilite, notamment par son renoncement à l’atomisme classique. Notons simplement ici que, pour Naẓẓām, les corps peuvent s’interpénétrer, et que Dieu a créé les substances. Puis, par leur nature, les accidents, qui y sont inhérents, évoluent et se combinent. Toutefois, qu’en est-il du lien entre atomisme et occasionnalisme chez Naẓẓām et au sein de sa théorie du “saut” ? En tant que Muʿtazilite il adhérait à une vision occasionnaliste du monde. Or, il niait bien l’atomisme. C’est une contradiction, puisqu’il est établi que l’occasionnalisme nécessite l’atomisme. En réalité, cette contradiction n’est qu’illusion. En effet, le caractère continu de l’espace et du temps, chez Naẓẓām, n’est que potentiel. De façon effective, il a besoin du “saut”. Les corps qui se meuvent d’un lieu A à un lieu B ne passent pas par tous les lieux entre A et B, même si potentiellement ils le pourraient, mais “sautent”, de façon discrète, d’un lieu à un autre, en enjambant plusieurs d’entre eux. Ainsi, Naẓẓām passe du caractère continu potentiel, au caractère discret en acte, ce qui confine à une forme d’atomisme, quoique plus abstraite que les autres, mais qui reste bien une forme de discrétisation du monde, de façon effective.

1 La théorie du “saut” de Naẓẓām et la dispute avec al-Ashʿarī

al-Ashʿarī, dans sa réponse à Naẓẓām, est fortement inégal. Autant il peut faire preuve de raisonnements fins et subtils, autant il peut sombrer dans un argumentaire sophistique sans valeur. Citons en guise d’exemple l’un de ses arguments, en réponse à la variation continue de la taille de l’ombre d’un atome, qui en tant que variation continue, passe par toutes les valeurs possibles, dont des fractions d’atomes :

Le premier <argument> est apparenté, pour le principe, à un argument que rapporte Ibn Mattawayh : à tel moment de l’année (de la journée ?), disait Naẓẓām un atome a une ombre (portée) égale à deux fois sa dimension ; ce qui implique que l’ombre (portée) de dimension égale à la sienne soit l’ombre de sa moitié (chez Ibn Mattawayh, il est question de deux bouts de bois plantés en terre, l’un long de deux coudée, l’autre d’une coudée seulement ; quand l’ombre du premier décroit d’un atome, celle du second décroît nécessairement d’un demi-atome). al-Ashʿarī oppose à cela une réponse, en vérité, fort médiocre, et qui nie purement le problème : on a le droit de dire, rétorque-t-il, que l’atome a une ombre égale à deux fois sa dimension ; on n’a pas le droit de dire – du moment que l’atome n’a pas de moitié – que l’ombre de dimension égale à la sienne est l’ombre de sa moitié1 !

Un second argument, présenté par Naẓẓām, met en évidence la contradiction entre des corps de longueurs non-nulles, constitués d’atome qui sont, eux, de longueur nulle. Nous avions vu comme son oncle, Abū al-Hudhayl, s’en sort en différenciant les propriétés des atomes isolés et combinés. Il affirmait que seuls les atomes isolés avaient une longueur nulle, mais qu’ils en acquièrent une dès lors qu’ils sont réunis en un corps. Cette proposition ad hoc ne constitue pas un argument des plus solides… Mais quid d’al-Ashʿarī ?

Un second argument de Naẓẓām dont fait état le Mujarrad se retrouve également chez Ibn Mattawayh. L’atome, par définition, n’a pas de longueur (sinon, il serait divisible). Le corps, qui, au dire des atomistes, est un assemblage d’atomes, a, lui, une longueur. Comment, dit Naẓẓām, l’addition de deux choses dépourvues de longueur peut-elle produire quelque chose de long ? L’argument est incontestablement très fort, et montre à l’évidence l’absurdité de la thèse atomiste. al-Ashʿarī, comme plus tard Ibn Mattawayh, s’en tire par un recours à l’analogie. C’est possible, dit-il, de même que l’addition de deux paroles non signifiantes produit une parole signifiante ; ou de même que l’addition de deux figures non-carrées (c’est-à-dire : deux triangles) produit un carré2.

al-Ashʿarī a recours à un procédé bien connu des théologiens et des juristes, le qiyās, le raisonnement par analogie. Toutefois, l’analogie ne saurait constituer un raisonnement complet. En effet, al-Ashʿarī propose deux exemples. Le premier est la combinaison de deux paroles non signifiantes qui produit une parole signifiante. Mais cela est faux, si nous devions l’affirmer pour tout couple de paroles non-signifiantes. Il faut, pour que leur combinaison soit signifiante, que les deux paroles non signifiantes aient un lien particulier entre elles. De même pour le second exemple, qui affirme que l’addition de deux figures non carrées produit un carré. Là encore, cela est faux si nous l’affirmons pour tout couple de figures non carrées. Vous pouvez limiter l’affirmation aux seuls triangles rectangles isocèles. Mais là encore, c’est insuffisant, puisque, pour constituer un carré, il faut, de plus, que ces deux triangles soient identiques ! Encore une fois, on retrouve le fait qu’il y ait un lien particulier entre les deux éléments, en vue de leur rassemblement en une qualité particulière. Mais quel est le lien particulier entre la longueur d’un atome et celle d’un autre, de telle sorte que le rassemblement des deux constitue la longueur du corps ? al-Ashʿarī reste silencieux sur ce point. Ainsi, son argument est pour le moins incomplet, comme tout raisonnement par analogie. al-Ashʿarī d’ailleurs a bien conscience de cela, de telle sorte que, lorsque Naẓẓām l’utilise à son compte, c’est la carte qu’abattra al-Ashʿarī contre lui :

Un troisième argument de Naẓẓām cité dans le Mujarrad – mais qu’Ibn Mattawayh, pour sa part, attribue anonymement aux négateurs de l’atomisme en général – est le suivant : du moment que Dieu a puissance d’augmenter les corps à l’infini, Il a pareillement puissance de les diminuer à l’infini. Cette fois al-Ashʿarī, qui invoquait précédemment le principe d’analogie, le récuse. Pour lui, cette assimilation du grand au petit est injustifiée ; s’il n’y a pas de limite à l’augmentation, il y en a nécessairement une à la diminution. Il en va de cela, dit-il, comme des nombres ; ils ont un commencement, ils n’ont pas de fin3.

Nous pourrions toutefois signaler ici que al-Ashʿarī réfute Naẓẓām, en prétendant que son raisonnement par analogie ne tient pas, en affirmant que “l’assimilation du grand au petit est injustifiée”, sans plus de précision. Comment al-Ashʿarī soutient-il sa réfutation ? Eh bien… par un raisonnement par analogie ! « Il en va de cela, dit-il, comme des nombres ; ils ont un commencement, ils n’ont pas de fin ». Nous pourrions répondre ici que cela dépend de l’ensemble considéré. Si cela est vrai, dit des nombres entiers naturels, il est déjà faux lorsque nous considérons l’ensemble des nombres relatifs. Toutefois, Naẓẓām détient un argumentaire bien plus solide, connu sous le nom de sa théorie du “saut”, dont nous avons déjà parlé. Voici ce qu’en dit al-Ashʿarī :

La théorie du “saut” imaginé par Naẓẓām […] consistait à dire que le mobile, au lieu de parcourir toute la série <des lieux séparant son point de départ de son point d’arrivée>, “saute” d’un point à un autre plus éloigné, sans passer par tous les points intermédiaires : au “deuxième instant” de sa progression, il se trouve d’emblée dans le “troisième lieu” ou le “dixième lieu”, et ainsi de suite. al-Ashʿarī, comme on l’imagine, rejette cette théorie, considérant comme “impossible qu’une substance se trouve en un lieu (maḥall), puis aussitôt après dans un autre lieu éloigné du premier, et cela sans avoir cessé d’être et être [ensuite] revenue à l’être, et sans être passée par [chacun des lieux intermédiaires], avoir été vis-à-vis de lui et l’avoir franchi”4.

Encore une fois, la réfutation que propose al-Ashʿarī est bien étrange. En effet, lui qui souhaite défendre l’atomisme, réfute Naẓẓām par un argument que nous pourrions presque qualifier de continuiste. Il faut, nous dit al-Ashʿarī, que le mouvement d’un corps, d’un lieu à un autre, implique le passage du corps par tous les lieux intermédiaires, sans exception, sans « saut ». Toutefois, Naẓẓām n’a développé sa théorie du « saut » que pour transcender les paradoxes, connus des Grecs, comme ceux de Zénon. Naẓẓām illustrera cela sur l’exemple bien connu de la toupie :

Quand la toupie tourne sur elle-même, “sa partie supérieure se meut davantage que sa partie inférieure” (yataḥarraku a’lāhā aktar min ḥarakati asfalihā), c’est-à-dire : dans le même temps, un atome de la partie supérieure parcourt une distance beaucoup plus grande qu’un atome de la partie inférieure. Cela ne s’explique, disait Naẓẓām, que parce que l’atome du haut “saute” une partie de la distance, alors que l’atome du bas la parcourt point par point […] Ibn Mattawayh et Jubbā’ī parlent, eux, d’une meule de moulin (raḥā)5.

Nous comprenons cet exemple par le fait que le corps ne se disloque pas. La toupie reste intacte, du début à la fin du mouvement. Or, il est établi que la distance à parcourir par le haut de la toupie est plus grande que celle parcourue par le bas de la toupie, dans le même laps de temps. Ainsi, il est nécessaire, si toute la distance à parcourir est effectivement parcouru, que les différents atomes de la toupie aient des vitesses différentes, ce qui est absurde, car cela entrainerait la dislocation de la toupie. Que répond al-Ashʿarī à cela ?

Ces différences de vitesse, al-Ashʿarī les explique comme avant lui Abū al-Hudhayl et Jubbā’ī : si deux mobiles parcourent dans le même temps des distances différentes, c’est parce que, pour le plus lent des deux, son mouvement est entrecoupé d’arrêts (waqafāt), imperceptibles à l’œil, pendant lequel le plus rapide continu de se mouvoir ; un cheval de course va plus vite qu’un homme parce que sa progression (sayr) comporte peu d’arrêts alors que celle de l’homme en comporte beaucoup ; de même en va-t-il de deux pierres qu’on laisse tomber d’une hauteur, et dont l’une dépasse l’autre6.

Il n’y a, selon nous, qu’une faible distinction entre les deux approches. L’un, Naẓẓām, suggère que le plus rapide est plus rapide puisqu’il “saute” des lieux sur son chemin, contrairement à son rival plus lent. L’autre, al-Ashʿarī, suggère que le plus lent est plus lent parce qu’il “s’arrête” en des lieux sur son chemin, contrairement à son rival plus rapide. Toutefois, dans un cas comme dans l’autre, nous n’avons aucune cause à ce phénomène. Pire encore, comment un arrêt d’une partie d’un mobile, qui n’induit pas l’arrêt d’une autre partie du même mobile, n’engendre pas la dislocation dudit mobile, comme le signale Gimaret en parlant de tafakkuk ?

Non, répond al-Ashʿarī, qui fait état à cet égard d’un argument qu’on retrouvera également chez Ibn Mattawayh et Jubbā’ī. Soit une tige (ʾamūd) de fer plantée verticalement dans un rocher, et dont le bas est en outre lesté de plomb : on peut mouvoir le haut de la tige alors que le bas reste immobile, sans pour autant qu’il y ait désagrégation de la tige7.

Les corps solides ont une certaine élasticité, ils sont susceptibles de déformation. C’est la théorie de Thomas Young, qui établit un module, dit module de Young, qui est caractéristique de la capacité d’un corps solide à se déformer. Attention toutefois, quel que soit le corps, cette élasticité n’est pas infinie. Il est possible d’atteindre ce que nous nommons le point de rupture, au-delà duquel le corps se disloque. Ainsi, cette considération doit limiter le nombre d’arrêts ou de sauts qui peuvent intervenir dans un mouvement donné. Pourtant, il ne semble pas qu’il y ait de limite, en mécanique classique, à la vitesse de rotation de la toupie. Naẓẓām poursuit sa quête de réfutation de l’atomisme en décrivant une autre expérience, susceptible d’anéantir les espérances des atomistes, celle du passager d’un bateau :

Le troisième exemple invoqué par Naẓẓām et cité dans le Mujarrad est celui du passager d’un bateau, lequel passager se déplace de l’arrière à l’avant cependant que le bateau est lui-même en mouvement. En supposant – pour reprendre les chiffres d’Ibn Mattawayh – que le bateau ait une longueur de vingt coudées, et que le passager parcoure cette distance dans le temps où le bateau parcourt lui-même vingt coudées, le passager se trouvera avoir parcouru, par rapport à la surface de l’eau, une distance double de celle parcourue par le bateau, soit quarante coudées, et cela dans le même temps. Là encore, cela ne s’explique, selon Naẓẓām, que parce que le passager “saute” certains points de l’itinéraire, alors que le bateau les parcourt un à un8.

Là encore, nous retrouvons une idée connue, élaborée plusieurs siècles plus tard, sous le nom de relativité galiléenne. Le principe de la composition des vitesses, en fonction du référentiel d’étude choisi, à savoir le mouvement du passager par rapport au bateau, puis par rapport à l’eau, est au cœur de la démarche théorique de Galilée, qui lui permettra de formuler son principe de l’inertie9. Qu’en pense al-Ashʿarī ?

al-Ashʿarī voyait ici deux réponses possibles […] Pour lui, en revanche, un corps ne saurait être mobile du fait du mouvement de son “lieu”, il ne peut l’être qu’en vertu de son propre mouvement. Autrement dit, il n’y a pas, en l’occurrence, “composition” de mouvements ; le passager parcourt un certain espace (le plancher du bateau), le bateau lui-même parcourt un autre espace (la surface de l’eau). Mais l’espace parcouru par le passager n’inclut pas celui parcouru par le bateau10.

Nous comprenons donc que, pour al-Ashʿarī, le mouvement effectif ne se réalise qu’au sein d’un unique référentiel, celui avec lequel le mobile est en contact, et ce, indépendamment de l’observateur. Cette représentation, quoique logique si l’on fait siennes les définitions du mouvement d’al-Ashʿarī, ne saurait être satisfaisante du point de vue de la physique, puisqu’elle limite ainsi les considérations de mouvement, de vitesse à un unique référentiel, un référentiel non pas seulement privilégié, comme ce sera le cas en Relativité Restreinte puis Générale, mais bien un référentiel d’étude unique pour chaque situation. Comment alors, pouvoir comparer deux phénomènes, ayant lieu dans deux référentiels différents ? Est-ce que cela n’impacterait pas le caractère universel de l’observation effectuée, et partant, de la science ainsi produite ? Examinons un cas particulier, issu d’un ḥadith labelisé comme authentique (ṣaḥīḥ) par Bukhārī (nous traduisons) :

Abū Dharr – que Dieu l’agrée – a dit : “Le Prophète me dit : Sais-tu où va le soleil après s’être couché ? – Dieu et son Messager sont ceux qui le savent le mieux, répondis-je. – Eh bien ! reprit-il, il s’en va se prosterner sous le Trône divin ; puis, il demande la permission, et elle lui ait accordée. Cependant, les temps approchent où le soleil, voulant se prosterner, éprouvera un refus ; où, demandant la permission, il se la verra refuser ; et on lui dira : retourne d’où tu viens ! et il se lèvera du côté de l’Occident. – C’est à cela que fait allusion le verset : “Et que le soleil court vers un sien reposoir, et ce n’est là que juste réglage du Tout-Puissant, du Connaissant”11,12.

Que faire d’une telle information ? Une idée simple serait de considérer un voyage au voisinage du cercle arctique, de telle sorte à ce que nous puissions contempler les mouvements du Soleil durant plusieurs « jours » sans que celui-ci ne se couche. Nous verrions alors qu’il ne s’arrête nullement en quelque endroit que ce soit, mais qu’il tournoie au-dessus de l’horizon. Mais alors, est-ce que al-Ashʿarī rejetterait ce ḥadith, pour cette raison ? Si nous appliquions sa méthode, niant les possibles compositions des vitesses, par changement de référentiel, tout ce que nous pourrions dire est que, au voisinage du cercle polaire, le Soleil ne se couchant pas durant plusieurs mois de l’année, il ne visite pas le Trône divin durant ces mois-là, et ne va s’y prosterner que durant les mois de « nuit » du cercle arctique. Toutefois, en revenant dans la péninsule arabique, nous pourrions affirmer que, puisqu’ici le Soleil se couche chaque « jour », alors, ici, il va, chaque jour, se prosterner sous le Trône divin. Les observations ne sont que locales, et ne sauraient être prises pour universelles en les comparant avec d’autres observations, réalisées à partir d’un autre point de vue. La réalité se modifierait, changerait, alors, avec le référentiel à partir duquel nous l’observons. Ce qui implique donc la négation de l’universalité des observations, et partant, de toutes sciences qui usent du principe de l’induction, ce qui est un principe nécessaire à toute science « moderne ».

2 Ibn Rushd et les caractères successifs, contigus et continus des existants

Examinons à présent la distinction que relève Ruth Glasner entre les caractères successifs, contigus et continus des existants du monde physique (nous traduisons) :

Le passage du tournant ouvre un nouveau chapitre dans l’étude d’Averroès sur le changement et le mouvement. Il introduit un outil d’analyse plus précis : les termes de mesure de proximité qu’Aristote définit dans Physique V.3, à savoir la succession et la contiguïté. En utilisant ces termes, l’étude du mouvement devient plus scientifique, Averroès peut offrir une meilleure analyse de l’argument d’Aristote, et trouver où se situe la difficulté. Avec ce nouvel outil, Averroès peut éliminer la menace du déterminisme d’une part et de l’occasionalisme d’autre part. Les Stoïciens n’ont pas prêté l’attention nécessaire à la distinction entre continuité et contiguïté, et ont donc omis de noter les “temps du possible” dans les processus sublunaires. Les mutakallimūn n’ont pas prêté l’attention nécessaire à la différence entre contiguïté et succession, et n’ont donc pas réussi à apprécier l’ordre scientifique qui régit les processus sublunaires. L’idée d’Averroès était ingénieuse et peut être considérée comme montrant une approche scientifique de la physique13.

Ce passage est d’une première importance, puisqu’il illustre la manière dont Ibn Rushd entreprend une étude minutieuse du sens des mots, permettant de transcender les barrières paradoxales, les crampes mentales. Il parvient, en examinant et en distinguant les termes de continuité et de contiguïté, ce dernier terme, contrairement au premier, libérant un espace entre le passé et le futur, le présent, “temps du possible”, ce qui permet d’introduire la contingence, et donc la potentialité des existants particuliers, échappant ainsi au dictat du déterminisme des stoïciens. Par ailleurs, en relevant la distinction entre contiguïté et succession, cette dernière permettant des sauts que les théologiens occasionnalistes utilisent à profit pour laisser la place aux actes de Dieu, leur permettant de nier ainsi les liens de causes à effets entre les existants particuliers du monde physique, Ibn Rushd permet, en cohérence, l’usage du principe de causalité, ouvrant sur une approche scientifique des sciences physiques. À travers cette notion de contiguïté, Ibn Rushd relève ce que l’on pourrait appeler un atomisme d’Aristote, comme le souligne Ruth Glasner (nous traduisons) :

Les termes de la discussion, étaient l’homéomérie vs l’essentialité : Galien concevait l’unité en termes de continuité ou d’homéomérie, Alexandre en termes d’essentialité. Ces deux conceptions de l’unité n’étaient pas encore différenciées chez Aristote : le corps est une condition pour être continu (c’est-à-dire en une seule partie), et une condition pour avoir un mouvement. Aristote associe fortement corps et mouvement. Le mouvement du corps est une manifestation de son essence : “le mouvement primaire de chaque objet naturel est présent en lui en vertu de sa propre essence”. Aristote ne peut cependant pas expliquer quelle est l’unité à laquelle le mouvement de l’eau, par exemple, est associé. Un corps simple a son mouvement naturel spécifique mais, comme Aristote l’admet lui-même, il ne peut pas être considéré comme une seule entité : “aucun d’entre eux [les quatre corps simples et leurs parties] n’est une unité, mais comme un tas, jusqu’à ce qu’ils soient concoctés et qu’une certaine unité soit formée à partir d’eux”14.

Nous comprenons la difficulté, le point de tension inhérent à la discussion sur les corps simples. Existe-t-il une quantité minimale d’eau pour que l’eau soit de l’eau ? Aristote répond en ce sens qu’il faille une certaine quantité pour qu’un tas d’eau soit de l’eau. Ainsi, il y aurait une quantité minimale pour qu’un tas de corps simples soit un tas de corps simples. Notre formulation est volontairement récursive. La difficulté de cheminement est patente. Voici comment Ibn Rushd tente de dépasser cette difficulté, comme le résume Ruth Glasner (nous traduisons) :

Pour Averroès, la mare d’eau n’est plus “accidentelle” mais plutôt un agrégat de “nature” :

« Le mouvement du corps dans son ensemble est l’agrégat des mouvements des parties et la somme des mouvements des parties n’est rien d’autre que le mouvement du tout. »15

« Par Dieu, vous devriez connaître la différence entre l’attribuer [le mouvement] au tout et l’attribuer aux parties. Je veux dire que lorsqu’il est attribué au tout, il est un et lorsqu’il est attribué aux parties, il est multiple. »16

La grande innovation d’Averroès réside dans la définition des parties ou unités essentielles qui sont les “porteurs” du mouvement essentiel d’un corps. C’est Alexandre qui a, le premier, avancé une compréhension plus “essentialiste” des éléments. Kupreeva soutient que l’analyse hylémorphique des éléments a joué un rôle déterminant dans le débat d’Alexandre avec les Stoïciens : Alexandre souligne que les éléments ne sont pas des faisceaux de qualités élémentaires, mais des substances17.

Ainsi, Ibn Rushd tente de surmonter cette difficulté, par une discussion sur la partie et le tout. En particulier, il s’attarde sur une notion nouvelle, une “unité essentielle”. Qu’est-ce que cette unité essentielle, si ce n’est une forme particulièrement abstraite d’atomisme ? C’est précisément ce que Ruth Glasner soulignera, de façon explicite, dans son analyse d’un passage particulièrement éclairant du commentaire du De Caelo figurant dans son Averroes’ physics (nous traduisons) :

Dans le commentaire du milieu du De caelo, §.168, Averroès introduit un nouveau concept : un point naturel. Ce qui est vrai ou faux des points mathématiques n’est pas nécessairement vrai ou faux lorsqu’il s’agit de points naturels18. Nous avons déjà affirmé que ce qui a plus de parties est plus lourd. Cela implique nécessairement qu’il est plus lourd en vertu de quelque chose qui est lui-même lourd : le point naturel19,20.

C’est à travers cette notion de point naturel, unité de matière, substrat fondamental, unité essentielle et indivisible, du mouvement, qu’Ibn Rushd réussit à dépasser les difficultés inhérentes au système d’Aristote.

3 Thābit Ibn Qurra, Ibn al-Haytham, et le calcul infinitésimal

3.1 Ibn al-Haytham, et le raisonnement par analyse-synthèse

Ibn al-Haytham (965-1040) s’inscrit pleinement dans ce renouveau de la pensée scientifique, avec notamment un statut fondamental consacré à l’expérience, fondé sur l’exercice du raisonnement par induction démonstrative, par opposition à la simple observation fondée sur le raisonnement par induction dialectique21. Il ne reniera pas, cependant, le rôle central du raisonnement déductif, puisqu’il en explorera et repoussera les limites, en faisant état de type de raisonnements nouveaux, à l’instar du raisonnement par analyse-synthèse, outil des plus précieux en mathématiques et en physique théorique, de nos jours encore. Il consacrera un traité entier à ce raisonnement, son œuvre Sur l’analyse et la synthèse, Fī at-taḥlīl wa-at-tarkīb, éditée et traduite en français par Roshdi Rashed dans son œuvre encyclopédique Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, Fondateurs et Commentateurs. Voici comment Ibn al-Haytham nous présente et définit les deux temps du raisonnement par analyse-synthèse, à commencer par l’analyse :

Nous disons que la façon de procéder dans l’analyse est de supposer le recherché tout à fait achevé et parfait, puis nous examinons les propriétés de son objet, conséquences nécessaires de cet objet et de son genre, puis ce qui s’ensuit de ses conséquences nécessaires, puis les conséquences nécessaires de ces dernières, jusqu’à ce que l’on aboutisse à une chose donnée dans ce recherché, qui ne soit pas impossible en lui. Voici comment on procède en général dans l’analyse. Quand cet examen aboutit à la notion donnée, on interrompt l’examen de ce recherché, et celui qui examine s’arrête là ; le donné est la notion que l’on ne peut rejeter, et que rien ne peut empêcher22.

Le raisonnement par analyse-synthèse est parfaitement adapté aux problèmes dont on cherche à montrer à la fois l’existence d’une solution et ses caractéristiques. Pour ce faire, nous dissocions le problème en deux. Ainsi, nous postulons, dans le temps de l’analyse, l’existence d’une solution au problème posé, et nous tentons d’en exhiber l’ensemble des caractéristiques. Autrement dit, sur le plan épistémologique, une fois l’analyse achevée, nous pouvons affirmer avec certitude que, si le problème a une ou plusieurs solutions, alors elles auront telles caractéristiques, et seront donc nécessairement incluses dans l’ensemble des « candidats » déterminé en conclusion de l’analyse. Une fois cette première phase achevée, et la liste de nos solutions « candidates » dressée, nous pouvons nous diriger, avec Ibn al-Haytham, vers la synthèse :

La façon de procéder dans la synthèse consiste à supposer la chose donnée, à laquelle a abouti l’analyse et à laquelle s’est arrêté celui qui examine, puis à lui ajouter la propriété trouvée, puis à lui ajouter la propriété trouvée avant cette dernière ; on suit dans cet arrangement l’inverse de l’arrangement suivi dans l’analyse ; si en effet l’on suit cette voie, l’arrangement aboutit à la notion recherchée, car elle était le premier objet dans l’analyse ; si on inverse l’arrangement, le premier devient alors le dernier ; et si l’arrangement inversé aboutit au premier recherché supposé, alors cet arrangement sera un syllogisme démonstratif, et le premier recherché supposé sera sa conclusion ; le recherché existera alors, et de plus sa validité sera certaine, car elle est conclusion d’un syllogisme démonstratif indiquant nécessairement la validité de sa conclusion23.

Ainsi, dans la synthèse, nous ne supposons plus l’existence de solution, mais allons prendre la liste des candidats et les tester vis-à-vis du problème initial. Un exemple classique, présent dans tous les cours de mathématiques du supérieur aujourd’hui en France est la résolution du problème suivant : nous souhaitons prouver que toute fonction f, définie sur l’ensemble des réels, s’écrit, de manière unique, comme somme d’une fonction paire p et d’une fonction impaire i. À première vue, cela semble être un problème difficile, on ne voit vraiment par comment choisir p et i en fonction de f. Nous allons traiter ce problème à l’aide d’un bref raisonnement par analyse-synthèse :

Soit f une fonction définie sur l’ensemble des réels.

Analyse : Nous supposons qu’il existe une fonction paire p et une fonction impaire i telles que f = p + i

Soit x un réel fixé. Calculons f(−x) en utilisant les propriétés des parités des fonctions p et i. On obtient (1) : f (−x) = p(−x) + i(−x) d’où f (−x) = p(x) − i(x)

Or, par supposition, nous avons aussi l’égalité (2) suivante : f (x) = p(x) + i(x)

En effectuant la somme des deux équations (1) et (2), et leur différence, on obtient :

Equation

Citation: Philosophical Studies Journal 2, 1-2 (2025) ; 10.1163/2950225x-20250007

Ceci pour tout x réel. Ainsi, en conclusion de l’analyse, si les fonction p et i existent, elles s’écrivent nécessairement comme nous venons de l’établir. Nous avons nos deux fonctions “candidates”. Ceci montre l’unicité d’une décomposition, si elle existe, de toute fonction f définie sur l’ensemble des réels en somme d’une fonction paire p et d’une fonction impaire i. Dit autrement, à ce stade il n’y a que deux possibilités : soit il n’y a qu’un unique couple de fonctions solutions, celles que nous venons d’exhiber, soit il n’y a aucune solution au problème. Toutefois, nous n’avons pas encore établie l’existence d’une telle décomposition.

Voici venir le temps de la synthèse :

Synthèse : Posons les fonctions définies sur l’ensemble des réels par :

Equation

Citation: Philosophical Studies Journal 2, 1-2 (2025) ; 10.1163/2950225x-20250007

Alors : la somme p + i = f. Reste à vérifier les parités de ces deux fonctions. Or, on a, pour x un réel fixé :

Equation

Citation: Philosophical Studies Journal 2, 1-2 (2025) ; 10.1163/2950225x-20250007

Ceci pour tout x réel. Ceci pour toute fonction f définie sur l’ensemble des réels. Ceci prouve l’existence de la décomposition (qui s’ajoute à l’unicité déjà établi lors de l’analyse) de toute fonction f définie sur l’ensemble des réels en la somme d’une fonction paire p et d’une fonction impaire i. CQFD.

Cela étant établi, voyons comment Thābit Ibn Qurra va établir, par démonstration, en raisonnant par approximations successives, une méthode de calcul de l’aire d’une parabole24.

3.2 Thābit Ibn Qurra, et le calcul de l’aire d’une parabole

Thābit Ibn Qurra (836-901), l’un des mathématiciens de l’âge classique de la civilisation arabo-musulmane, fut l’un des pionniers, avec les Banū Musā, comme le souligne Roshdi Rashed, dans l’émergence d’une forme nouvelle de mathématiques : celle des mathématiques infinitésimales, entre le IXe et le XIe siècle. Voici comment Thābit Ibn Qurra, dans son œuvre Sur la mesure de la section d’un cône, appelée parabole, Fī misāḥat qiṭʿ al-makhrūṭ alladhī yusammā al-mukāfiʾ, éditée et traduite en langue française par Roshdi Rashed, introduit la démonstration de sa méthode de calcul de l’aire d’une parabole :

La parabole est infinie, mais l’aire de l’une quelconque de ses portions est égale aux deux tiers de l’aire du parallélogramme de même base et de même hauteur que la portion. Soit ABC la parabole, DBE une de ses portions, BF le diamètre de cette portion et DFE sa base. Soit le parallélogramme DGHE dont la base est DFE et dont la hauteur est la hauteur de la portion DBE de la parabole. Je dis que la parabole tout entière est infinie et que l’aire de sa portion DBE est égale aux deux tiers de l’aire du parallélogramme DGHE25.

Image

Citation: Philosophical Studies Journal 2, 1-2 (2025) ; 10.1163/2950225x-20250007

Telle est la proposition que Thābit Ibn Qurra propose de démontrer. Il va procéder par un type de raisonnement fondamental : le raisonnement par l’absurde :

Démonstration : La parabole ABC peut être prolongée à l’infini et les deux lignes BA et BC ne se rencontrent pas du côté de AC, pour qu’elles enferment une surface ; la parabole n’a donc pas de limites26.

Premier élément de la démonstration de la proposition citée ci-dessus : la parabole n’ayant pas une surface fermée, elle ne saurait, dans son entièreté, avoir une valeur limite à sa surface intérieure (celle contenue entre ses branches). Cela étant établi, Thābit ibn Qurra poursuit son analyse en supposant que le rapport entre l’aire de la parabole et celle du parallélogramme DGHE est une valeur triviale, 2/3, constante, au sens où elle est indépendante de la valeur effective des différentes longueurs des différentes figures. Voici donc comment le mathématicien médiéval établi, en deux temps, ce résultat :

Je dis que sa portion DBE est égale aux deux tiers du parallélogramme DGHE. S’il n’en était pas ainsi, elle serait donc plus grande que les deux tiers ou bien plus petite qu’eux27.

Ainsi, les deux temps du raisonnement de Thābit Ibn Qurra, vont correspondre à montrer l’impossibilité que l’aire de la parabole soit, d’une part, plus petite que les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE, et, d’autre part, plus grande que les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE, ce qui ne laisserait que la dernière branche de la dichotomie, à savoir l’égalité entre l’aire de la parabole et les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE. Voyons, dans un premier temps, l’analyse de la première branche de la dichotomie, où Thābit Ibn Qurra montre l’impossibilité que l’aire de la parabole soit plus grande que les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE, par un subtil raisonnement par l’absurde :

Qu’elle soit d’abord plus grande que les deux tiers et que son excédent sur les deux tiers soit égal à la surface I. On peut mener dans la portion DBE des ordonnées qui divisent le diamètre suivant les rapports des nombres impairs successifs commençant par un. Si on joint leurs extrémités par des droites et le sommet de la parabole aux extrémités de la plus petite d’entre elles, on engendre dans cette portion de la parabole un polygone que la portion DBE excède d’une grandeur plus petite que la surface I. Soit KL, MN, SO et DE les ordonnées que nous avons mentionnées et les droites qui joignent [les extrémités], les droites DS, SM, MK, KB, BL, LN, NO et OE. Le polygone DSMKBLNOE auquel on ajoute la surface I, est plus grand que la portion DBE de la parabole. Mais la portion DBE de la parabole est égale aux deux tiers du parallélogramme DGHE auquel on ajoute la surface I, donc le polygone DSMKBLNOE auquel on ajoute la surface J, est plus grand que les deux tiers du parallélogramme DGHE auquel on ajoute la surface I. Éliminons ce qui est commun, soit la surface I, il reste le polygone DSMKBLNOE plus grand que les deux tiers du parallélogramme DGHE. Or, on a montré dans les propositions qui précèdent qu’il est plus petit que ses deux tiers, ce qui est absurde. La portion DBE n’est donc pas plus grande que les deux tiers du parallélogramme DGHE28.

Ainsi, Thābit Ibn Qurra établit une minoration de l’aire de la parabole par approximations en polygone DSMKBLNOE, par défaut. Il considère la différence, l’écart entre la surface de la parabole et le polygone DSMKBLNOE. Par approximations successives, Thābit Ibn Qurra parvient à établir une première inégalité entre la surface de la parabole et les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE, à savoir que la surface de la parabole est plus petite que les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE29. Dans un second temps, il va établir l’inégalité inverse, à savoir que la surface de la parabole est plus petite que les deux tiers de la surface du parallélogramme DGHE :

Je dis que la portion DBE n’est pas plus petite que les deux tiers du parallélogramme DGHE. Si c’était possible, qu’elle soit plus petite que les deux tiers <du parallélogramme DGHE> d’une grandeur égale à la surface I. Il est possible de construire dans cette portion de la parabole un polygone I inscrit dans la portion, inférieur aux deux tiers du parallélogramme DGHE d’une grandeur plus petite que la surface I ; qu’il soit le polygone DSMKBLNOE. Le polygone DSMKBLNOE, plus la surface I, est plus grand que les deux tiers du parallélogramme DGHE. Mais la portion DBE, plus la surface I, est égale aux deux tiers du parallélogramme DGHE. Le polygone DSMKBLHOE, plus la surface I, est donc supérieur à la portion DBE, plus la surface I. Éliminons ce qui est commun, soit la surface I, il reste le polygone DSMKBLNOE supérieur à la portion DBE de la parabole, il est donc supérieur à celle-ci et il y est inscrit, ce qui est absurde. Donc la portion DBE n’est pas inférieure aux deux tiers du parallélogramme DGHE30.

Une fois établies les deux inégalités, Thābit Ibn Qurra peut conclure :

Or, nous avons montré qu’elle n’était pas plus grande que ses deux tiers. Elle est par conséquent égale aux deux tiers du parallélogramme DGHE. Ce qu’il fallait démontrer31.

Notons que cela correspond à la valeur que nous trouvons, en usant des méthodes actuelles, celles développées par Newton et Leibniz et sur lesquelles nous reviendrons plus loin :

Equation

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Voilà qui met fin à ce que nous souhaitions évoquer quant au fondement du calcul infinitésimal. Nous pouvons à présent passer à l’établissement des ponts entre sciences médiévales et sciences modernes, notamment sur la question du saut et du calcul infinitésimal.

3.3 Newton et Leibniz, Dérivation et Intégration32

Dans le cadre de l’analyse, figurent deux chapitres liés entre eux, définissant deux opérations mathématiques essentielles aux sciences empiriques en générale, et aux sciences physiques en particulier. Il s’agit des chapitres concernant la dérivation d’une part, et l’intégration d’autre part. La première notion se conçoit assez intuitivement en physique, puisqu’elle permet de décrire la vitesse d’un mobile, en fonction des variations temporelles de sa position, ou l’accélération d’un mobile, en fonction des variations temporelles de sa vitesse. Pour ce faire, il suffit de considérer la vitesse moyenne entre deux instants, séparés d’une durée ∆t, pendant laquelle le mobile s’est déplacé d’une position x(t) à une position x(t + ∆t), ce que l’on nomme, en mathématiques, le taux d’accroissement

Equation

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Pour obtenir la vitesse instantanée en un instant t, il suffit de considérer la limite, lorsque ∆t tend vers zéro :

Equation

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Ce qui se note, dans le formalisme de Leibniz :

Et, c’est là que le nœud du problème apparaît. Le mystère du passage à la limite est placé, par Leibniz, sous le couvert pudique de ce « d ». Nous lui donnons le nom de différentielle totale exacte, lorsqu’il précède une fonction, comme il en va de la fonction position x : t → x(t), et le nom de variation infinitésimale, lorsqu’il précède une variable, comme il en va de la variable t. Ce concept de variation infinitésimale comprend à la fois la notion d’une variation, donc d’une modification non-nulle de la variable, mais aussi, la notion d’infinitésimale, qui renvoie à l’idée d’une quantité infiniment faible. Pour comprendre de quoi il retourne, et pour quelles obscures raisons Leibniz a dû supplanter la notion de limite par sa variation infinitésimale, il est important d’appréhender l’autre notion que nous avons évoquée plus haut : l’intégration. Initialement, il s’agissait d’un problème de géométrie. Comment, à partir d’une fonction quelconque, pouvons-nous établir la valeur de la surface délimitée par la courbe représentative de la fonction, dans un repère cartésien donné, l’axe des abscisses, et deux droites verticales déterminées par deux nombres, a et b, qui définissent les équations de droites verticales d’équations respectives t = a et t = b. L’idée la plus intuitive, celle à laquelle ont pensée simultanément Newton et Leibniz, consiste à découper la surface recherchée en bandes rectangulaires de largeur fixe : ∆t = (b − a) / n où n est le nombre de bandes, et de hauteur, variable d’une bande à l’autre, donnée par : x(t + k.∆t) = x(t + k. (b − a)/n) qui est la valeur prise par la fonction au début de la bande numéro k considérée, où k est pris entre 1 et n. Il nous suffit alors de calculer les surfaces des bandes obtenues. Par exemple, pour la bande k, son aire est donnée par l’expression :

Equation

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et de les additionner, pour obtenir une approximation de la valeur de la surface recherchée :

Equation

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Il s’agit d’une approximation, en effet, puisque les bandes en question peuvent, sauf cas très particuliers des fonctions constantes ou constantes par morceaux, dites « en escalier », recouvrir un peu plus ou un peu moins que la surface totale considérée. Or, Leibniz, tout comme Newton, ont remarqué que l’approximation diminuait avec l’augmentation du nombre de bandes n. Plus il y a de bandes, entre a et b, plus les bandes sont étroites, et viennent épouser la courbe de la fonction avec plus de précision. La valeur de la surface recherchée étant ainsi obtenue dans le cas limite où les bandes sont en nombre infini :

Equation

Citation: Philosophical Studies Journal 2, 1-2 (2025) ; 10.1163/2950225x-20250007

Le problème se pose alors : comment additionner un nombre infini d’éléments dont la valeur individuelle est nulle ? Nous retrouvons notre inquiétante étrangeté atomistique médiévale qui se redresse devant nous… Leibnitz dissimulera, non sans le savoir, l’impasse du paradoxe, en simplifiant l’écriture, en passant d’une somme discrète à une somme… continue ! Il inventera un nouveau symbole, le ∫, venant du S de sum, la somme en latin, venant remplacer le Σ grec de la somme discrète. Le calcul de surface précédent devient, sous la plume de Leibniz33 :

Equation

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Ce passage, du discret au continu, nous rappelle grandement la démarche proposée par Naẓẓām, avec sa théorie du saut, passant d’une continuité potentielle à un atomisme, qui, bien que non-classique, n’en demeure pas moins effectif. De même, nous pouvons comprendre la démarche de Leibniz, qui consiste à tenter de réduire une décomposition continûment grande, avec un pas infiniment petit, en une décomposition arbitrairement grande, de pas infinitésimal dt34. Cette approche, comme ce fut le cas pour Naẓẓām, sera confrontée aux mêmes tensions, dues au caractère ambigu de cette notion de variation infinitésimale, comme le fut celle du saut de Naẓẓām. D’autres philosophes, entre les deux, ont aussi tenté d’explorer cette piste, à l’instar d’Abū al-Barakāt al-Baghdādī35. Voici ce qu’en dit Fakhr al-Dīn al-Rāzī :

Lorsque Cheikh Abū al-Barakāt al-Baghdādī a parlé de la nature du mouvement et de sa réalité, il l’a interprétée comme « [un ensemble] de contacts successifs ». Et il n’a pas parlé de l’atomisme de manière juste. Il a exagéré, et a affirmé qu’il était nécessaire de reconnaître son absurdité. Or, la combinaison de ces deux idées est nécessairement impossible, intellectuellement. Si vous comprenez ce principe, sachez donc que les philosophes [péripatéticiens] ont prétendu que le temps existe, en tant qu’existant, et ils ont prétendu qu’il s’agissait d’une quantité continue, et non d’une quantité discrète. Ensuite, ils ont prétendu que l’instant “présent” seul est obtenu, et non pas le temps, et qu’il n’est pas possible d’obtenir l’essence du temps en suivant ses instants. Au lieu de cela, [l’instant] “présent” serait l’extrémité [finale] du temps passé, et le début du temps futur36.

La notion centrale exposée ici consiste en ce paradoxe terrible entre, d’une part, la négation de l’atomisme, et d’autre part le fait de considérer le mouvement comme un ensemble de contacts successifs ! Les contacts successifs, conjugués à la négation de l’atomisme, confinent la dimension de ces contacts à une quantité infinitésimale de mouvement dv, qui aura son pendant comme quantité infinitésimale de temps dt et de distance dx, dans le paradigme leibnizien. Ces quantités infinitésimales sont pourtant au cœur de l’approche différentielle des événements, qui permet de relier un effet à sa cause, et qui est une méthode et un paradigme mathématique central pour les sciences physiques. Cette double vision consistant à considérer un élément à la fois discret et continu est au cœur non seulement de notre sujet, mais aussi de questionnements modernes et contemporains en mécanique quantique. Le physicien français Louis de Broglie a établi, en 1924, son principe de dualité onde-corpuscule, consistant à considérer qu’un corps, en deçà d’une certaine échelle, se comporte, ou peut être vu, à la fois comme une onde et comme une particule. Dit autrement, un électron est tout à la fois une onde, continue dans l’espace, qu’une particule, occupant une position précise, donc discrète, dans l’espace ! Et, cette tension doit être maintenue, puisqu’elle est confirmée par l’expérience depuis près de cent ans !37

De même, nous pouvons comprendre la démarche de Leibniz, qui consiste à tenter de réduire une décomposition continûment grande, avec un pas infiniment petit, en une décomposition arbitrairement grande, de pas infinitésimal dt. Cette approche, comme ce fut le cas pour Naẓẓām, sera confrontée aux mêmes tensions, dues au caractère ambigu de cette notion de variation infinitésimale, comme le fut celle du saut de Naẓẓām. Ces tensions, nous l’avons souligné, demeurent encore vivaces aujourd’hui, dans le cadre de la théorie des cordes notamment, et elles ne sauraient être tranchées, par quelque expérience que ce soit, au vu des échelles des objets et des temps considérés, en l’occurrence le temps de Planck δt = 10−⁴³s et la longueur de Planck δx = 1, 62.10−³⁵m. Quoi qu’il en soit, Fakhr al-Dīn al-Rāzī, pas plus qu’Abū al-Barakāt al-Baghdādī, que Leibniz ou que Newton, ne pouvant effectuer de confirmation expérimentale, il se trouve contraint, pour distinguer le vrai du faux, à rechercher des incohérences logiques pour réfuter telle ou telle prise de position ou théorie :

Dites alors : Cette idée est fausse pour plusieurs raisons. La première : Le passé était présent, puis il a été détruit. Et le futur est ce qui sera présent, mais qui n’est pas encore advenu. Or, ce qui est présent n’est autre que “ce moment”. Ainsi, le passé et le futur ne sont rien de plus que “ce moment”. Ainsi, le temps, qu’ils admettent exister intellectuelle- ment, n’existe ni dans le présent, ni dans le passé, ni dans le futur. Alors, comment est-il plausible de dire qu’il existe ? La seconde : Si le présent est l’extrémité [finale] du passé, et le début du futur, alors, le passé et le futur n’existent pas de façon simultanée avec le “présent”. L’extrémité d’une chose est un de ses attributs et fait partie de sa description. Lorsque l’essence d’une chose n’existe pas, comment cet attribut pourrait-il exister ? Lorsque le passé et le futur seront détruits face au présent, comment serait-il possible que l’extrémité du passé et du futur, ainsi que leurs attributs, soient présentes ? La troisième : Le temps serait continu, si l’on disait que le temps passé est relié au temps futur, à travers le présent, qui est la fin du passé et le début du futur, de façon effective. Néanmoins, passé et futur sont inexistants, cela implique de dire qu’un inexistant se lie à un autre inexistant, par le biais d’un existant commun entre eux ! Ce n’est pas ce qu’une personne sensée peut affirmer38.

Fakhr al-Dīn al-Rāzī va alors plus loin, en soulignant allègrement les tensions manifestes qui, dans la vision du temps continu des philosophes, et en les élevant au rang d’absurdité, qu’une personne sensée ne peut affirmer. Et, Fakhr al-Dīn al-Rāzī de conclure :

Et, sachez ceci : Ces impossibilités leurs sont nécessaires, puisqu’ils ont fui, en admettant que “le temps est une succession d’instants, et [que] le mouvement est une succession de contacts”. Ils se sont échappés, puisqu’ils savaient qu’ils devraient nécessairement admettre que la distance soit composée d’atomes et, lorsqu’ils ont cru avoir échappé à ces choses, ils ont dû faire face à certaines impossibilités, et à ce qui est évidemment impossible. Et sachez que c’est l’habitude des philosophes, lorsque vous voulez discuter de ces questions, pour étudier le mouvement et le temps, que de renvoyer les arguments raisonnant sur la réfutation des atomes, même s’ils émettent des contradictions. Cependant, ce que nous avons mentionné de leurs idées sur le mouvement et le temps est suffisant pour résoudre les problèmes39.

Fakhr al-Dīn al-Rāzī décrit donc, en conclusion, la méthodologie des manœuvres d’évitement, voire d’échappement, auxquelles se livrent les philosophes, face à ces tensions, qu’il considère comme des absurdités. Ces tensions, nous l’avons souligné, demeurent encore vivaces aujourd’hui. Nous espérons avoir mis en lumière que la tension médiévale entre les partisans d’une approche continuiste de l’espace et du temps et les partisans d’une approche atomiste perdure aujourd’hui, et qu’elle est en réalité au cœur des controverses de la physique du XXe et sans doute plus encore dans celle du XXIe. La principale difficulté dans l’émergence des théories dites « du tout », celles qui visent à donner une cohérence au concept de gravitation quantique, en combinant tout à la fois la Relativité Générale d’Einstein et la Théorie Quantique des Champs, repose précisément sur la tension continu-discret que nous avons évoqué dans cet article. La Relativité Générale prend comme trame un tissu d’espace-temps continu, là où la théorie quantique des champs impose une quantification, une discrétisation, un « saut » permanent soit dans la structure même de l’espace-temps (c’est par exemple l’approche de gravitation quantique à boucles40), soit dans les éléments physiques eux-mêmes, l’espace-temps restant continu, mais les objets sont discrets, ainsi que leurs interactions mutuelles (c’est à grands traits l’approche de la théorie des cordes41). Voilà qui clôt ce que nous souhaitions mettre en évidence à travers le présent article.

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1

Daniel Gimaret, La doctrine d’al-Ashʿarī, (Paris : éd. Cerf Patrimoine, 1990), p. 53-54.

2

Ibid., p. 54.

3

Ibid.

4

Ibid., p. 55.

5

Ibid., p. 55-56.

6

Ibid., p. 56.

7

Ibid.

8

Ibid., p. 57.

9

Sur la relativité galiléenne et le principe de composition des vitesses, voir : A. Koyré, Études galiléennes, (Paris : Hermann, 1966) ; et Galilée (1632), Dialogue sur les deux grands systèmes du monde, traduit par R. Fréreux et F. de Gandt, (Paris : Seuil, 1992).

10

Gimaret, La doctrine d’al-Ashʿarī, p. 57-58.

11

Coran (36 : 38).

12

al-Bukhārī, Muḥammad ibn Ismāʿīl. Ṣaḥīḥ al-Bukhārī, éd. Muḥammad Zuhayr ibn Nāṣir al-Nāṣir, (Beirut : Dār Ṭawq al-Najāh, 2001). 9 volumes, ḥadith 3199.

13

Ruth Glasner, Averroes’ physics : a turning point in medieval natural philosophy (Oxford : Oxford University Press, 2009), p. 75.

14

Ibid., p. 155.

15

Voir Aristote, Physique VI, 4, 234b22-33.

16

Averroes, Long Commentary on the Physics, VI.38 Hébreu 68a23-5.

17

Glasner, p. 156.

18

Averroes, Middle Commentary on the De caelo, III.3.1. Introduction, arabe 285.10-13, hébreu 60b20-22.

19

Ibid., arabe 291.17-21, hébreu 62b5-8 (De caelo III.1, 299b15-23).

20

Glasner, p. 67. Sur la notion de « point naturel » chez Averroès, voir également : P. Lettinck, Aristotle’s Physics and its Reception in the Arabic World, (Leiden : Brill, 1994).

21

Sur le rôle d’Ibn al-Haytham dans le développement de la méthode scientifique et son usage de l’induction démonstrative, voir : A. I. Sabra, The Optics of Ibn al-Haytham, Books I-III: On Direct Vision, (Londres : The Warburg Institute, 1989), vol. 1 ; et R. Rashed, La construction de l’algèbre au IXe siècle, in Les doctrines de la science de l’Antiquité à l’âge classique, (Paris : Presses de l’Université Paris-Sorbonne, 2002).

22

Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, Fondateurs et Commentateurs, Vol. 4 (London : al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1996), p. 232.

23

Ibid.

24

Voir J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, (New York : Springer, 1986).

25

Rashed, Les mathématiques infinitésimales, p. 266.

26

Ibid., p. 268.

27

Ibid.

28

Ibid.

29

Sur la méthode d’exhaustion dans les mathématiques arabes médiévales et son lien avec Archimède, voir : A. Djebbar, L’algèbre arabe : genèse d’un art, (Paris : Vuibert/Adapt, 2005) ; J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, (New York : Springer, 1986).

30

Rashed, Les mathématiques infinitésimales, p. 270.

31

Ibid., p. 270.

32

Sur la relation entre les méthodes infinitésimales médiévales et le calcul intégral moderne, voir : V. J. Katz (dir.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, (Princeton : Princeton University Press, 2007) ; M. E. Baron, The Origins of the Infinitesimal Calculus, (Oxford : Pergamon Press, 1969).

33

Sur l’histoire du calcul différentiel et intégral, voir : C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, (New York : Springer, 1979) ; Baron, The Origins, op. cit.

34

Sur les infinitésimaux de Leibniz et leur statut épistémologique, voir : H. J. M. Bos, “Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus,” Archive for History of Exact Sciences 14, 1 (1974) ; R. T. W. Arthur, “Leibniz’s Syncategorematic Infinitesimals,” Archive for History of Exact Sciences 67, 5 (2013).

35

Sur la philosophie naturelle d’Abū al-Barakāt, voir : S. Pines, Studies in Abū’l-Barakāt al-Baghdādī: Physics and Metaphysics, (Jérusalem/Leyde : The Magnes Press/Brill, 1979) ; S. Nony Les variations du mouvement : Abū al-Barakāt, un physicien à Bagdad, VIe/XIIe siècle, (Le Caire : Ifao, 2016).

36

Banafsheh Eftekhari, Edition et traduction d’un recueil manuscrit en langue arabe de Fakhr al-ddin al-Razi Sur l’atomisme dans le Kalam, thèse de doctorat, Université Jean Moulin (Lyon), 2017, Chapitre 4, §.4.1, p. 463. Voir également l’édition critique arabe d’Eşref Altaş dans : Eşref Altaş, “Fakhr al-Din al-Razi’s Epistle on al-Hayula wa al-Surah: A Study and Editio Princeps,” Nazariyat Journal for the History of Islamic Philosophy and Sciences 1/1 (November 2014), p. 61-108 ; idem, “An Analysis and Editio Princeps of Fakhr al-Din al-Razi’s Risalah al-Jawhar al-Fard,” Nazariyat Journal for the History of Islamic Philosophy and Sciences 2/3 (November 2015), p. 77-176.

37

La première confirmation expérimentale de la dualité onde-corpuscule, en dehors du cas du photon, fut réalisée en 1927.

38

Fakhr al-Dīn al-Rāzī, Preuves de l’atomisme, Chapitre 4, §.4.1, p. 463-464.

39

Ibid., p. 464.

40

Sur la gravitation quantique à boucles, voir : C. Rovelli, & F. Vidotto, Covariant Loop Quantum Gravity, (Cambridge : Cambridge University Press, 2014).

41

Sur la théorie des cordes, voir : J. Polchinski, (1998). String Theory, 2 vol., (Cambridge : Cambridge University Press, 1998).

Titel:
La théorie du “saut” de Naẓẓām et le Calcul infinitésimal
Artikelkategorie:
Research Article
DOI:
https://doi.org/10.1163/2950225x-20250007
Sprache:
Französisch
Seiten:
116–142
Keywords:
Calcul infinitésimal; Naẓẓām; kalām; mathématiques arabes; Ibn al-Haytham; relativité galiléenne; analyse-synthèse;
Quelltitel:
Philosophical Studies Journal
Band/Ausgabe:
Band 2: Ausgabe 1-2
Received:
23 Jul 2025
Accepted:
02 Nov 2025
Verleger:
Brill
eISSN:
2950-225X
Print ISSN:
2950-2268
Fachgebiete:
Philosophie, Theologie & Wissenschaft, Nahost- und Islamwissenschaften, Allgemein, Philosophie, Geistesgeschichte, Geschichte, Religionsphilosophie, Theologie und Christentum, Wissenschaftsgeschichte

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